Cayley

=Arthur Cayley =



BIOGRAFIA

Además de su predilección por las matemáticas, también era un ávido lector de novelas, le gustaba pintar, apasionado de la [|botánica] y de la [|naturaleza] en general, y aficionado al [|alpinismo]. Fue educado en el [|Trinity College] de [|Cambridge]. Estudio durante algún tiempo la carrera de leyes con lo que trabajó de abogado durante 14 años, a la vez que publicaba un gran número de artículos. Luego pasó a ser profesor en [|Cambridge]. Fue el primero que introdujo la multiplicación de las [|matrices]. Es el autor del [|teorema de Cayley-Hamilton] que dice que cualquier matriz cuadrada es solución de su [|polinomio] característico. Dio la primera definición moderna de la noción de [|grupo]. Recibió la [|Royal Medal] en [|1859] y la [|Medalla Copley] en [|1882]. En [|combinatoria], su nombre está unido a la fórmula //n////n// − 2 que enumera los árboles decorados con n picos. Se llama a veces //octavas de Cayley// o //números de Cayley// a los [|octoniones]. Es el tercer matemático más prolifico de la historia, sobrepasado tan solo por [|Euler] y [|Cauchy], con aportaciones a amplias áreas de la matemática. Cayley es autor de una colección de artículos suyos llamado "//Collecterd Mathematica Papers of Cayley//", que contiene 966 artículos en trece grandes volúmenes. []
 * Arthur Cayley** ([|Richmond], [|Reino Unido], [|16 de agosto] de [|1821] - [|Cambridge], [|26 de enero] de [|1895]) fue un [|matemático] [|británico]. Es uno de los fundadores de la escuela británica moderna de matemáticas puras.

En 1863, fué nombrado Sadleirian professor of Pure Mathematics en la universidad de Cambribge, donde permaneció durante el resto de sus días. En 1849 Cayley publicó un artículo relacionando sus ideas sobre permutaciones con las de Cauchy. In 1854, adelantándose a su tiempo, Cayley escribió 2 memorables artículos que sugerían el concepto de grupo abstracto. En su época, los únicos grupos concretos conocidos eran los grupos de permutaciones que habian sido descritos recientemente. Cayley dió una definición suficientemente general de grupo e ideó un método constructivo para describir la tabla de cualquier grupo en términos de permutaciones. Lo que hoy se conoce como la representación regular o tabla de Cayley de un grupo. Se dió cuenta también, que algunos conjuntos de matrices o de cuaternios formaban o como hoy día decimos tienen estructura de grupo. Uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, Cayley publicó a lo largo de su vida más de novecientos artículos científicos. Considerado como uno de los padres del álgebra lineal, introdujo el concepto de matriz y estudió sus diversas propiedades. Con posterioridad empleó estos resultados para estudiar la geometría analítica de dimensión n. En 1859 concluyó que la geometría métrica se encontraba incluida en la proyectiva, noción que recogería Felix Klein en su estudio de las geometrías no euclídeas. Entre 1854 y 1878 escribió diversos artículos en los que desarrolló por vez primera la teoría de los invariantes. [|http://www.ugr.es/~eaznar/cayley.htm]

APORTACIONES A LAS MATEMATICAS

=Teorema de Cayley-Hamilton=

En [|álgebra lineal], el **teorema de Cayley-Hamilton** (que lleva los nombres de los matemáticos [|Arthur Cayley] y [|William Hamilton]) asegura que todo [|endomorfismo] de un [|espacio vectorial] de dimensión finita sobre un [|cuerpo] cualquiera anula su propio [|polinomio característico]. En términos matriciales, eso significa que : si //A// es una matriz cuadrada de orden //n// y si es su polinomio característico ([|polinomio] de indeterminada //X//), entonces al sustituir formalmente //X// por la matriz //A// en el polinomio, el resultado es la matriz nula: El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un [|anillo conmutativo] cualquiera. Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el [|polinomio mínimo] de una matriz dada es un [|divisor] de su [|polinomio característico], y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.

Motivación
Este teorema tiene dos familias de uso: Encontramos este teorema utilizado en los artículos sobre los [|polinomios de endomorfismo], [|endomorfismos nilpotentes], y más en general en [|la teoría general de las matrices].
 * Permite establecer resultados teóricos, por ejemplo para calcular el polinomio característico de un endomorfismo nilpotente.
 * Permite también simplificaciones poderosas en el cálculo de matrices. La aproximación por polinomios mínimos es en general menos costosa que la que se hace por determinantes.

Demostración
Efectuamos la demostración sobre la matriz //A//. Definamos la matriz //B//(//X//) = //t////c////o////m//(//X////I// − //A//). Sabemos que Podemos interpretar los miembros y factores de esta igualdad como polinomios en X con coeficientes en el anillo de las matrices cuadradas nxn con coeficientes en K y esa igualdad implica que //P//(//X//).//I// es //[|divisible por la izquierda] por //X////I// − //A// //. Esto implica entonces que //[|el valor a la derecha]// (igual en realidad aquí también a su valor a la izquierda, ya que se obtiene //B//(//X//).(//X////I// − //A//) = det(//X////I// − //A//).//I// ) del polinomio //P//(//X//).//I// para //X// = //A// es nula. Este valor sólo es //P//(//A//), lo que termina la demostración. //Véase también [|Polinomio de endomorfismo] para otra demostración.//

Ejemplo
Consideremos por ejemplo la matriz [[image:http://upload.wikimedia.org/math/c/4/c/c4cff0129a6a190203d22f92c8be2b38.png caption="A = \begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix}"]]. El polinomio característico se escribe [[image:http://upload.wikimedia.org/math/f/9/6/f96d38b29ca15d93ff4c5e7b11bf3b65.png caption="p(X)=\det\begin{pmatrix}X-1&-2\\ -3&X-4\end{pmatrix}=(X-1)(X-4)-(-2)(-3)=X^2-5X-2."]] El teorema de Cayley-Hamilton afirma que //A//2 − 5//A// − 2//I//2 = 0 y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso. Además el teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior //A//2 − 5//A// − 2//I//2 = 0 //A//2 = 5//A// + 2//I//2 Así, por ejemplo, para calcular //A//4, podemos escribir //A//3 = (5//A// + 2//I//2)//A// = 5//A//2 + 2//A// = 5(5//A// + 2//I//2) + 2//A// = 27//A// + 10//I//2 y llegamos a //A//4 = //A//3//A// = (27//A// + 10//I//2)//A// = 27//A//2 + 10//A// = 27(5//A// + 2//I//2) + 10//A// //A//4 = 145//A// + 54//I//2. Podemos utilizar también la relación polinomial inicial //A//2 − 5//A// − 2//I//2 = 0 para probar la inversibilidad de //A// y calcular su inverso. En efecto, basta con factorizar una potencia de //A// donde sea posible y //A//(//A// − 5//I//) = 2//I//2 lo que demuestra que //A// admite como inverso